'गणितानंद' कापरेकर'

अंकशास्त्रात अनेक शोध लावणारे थोर गणितज्ञ 'दत्तात्रय रामचंद्र कापरेकर' यांचा आज जन्मदिवस...

गणितज्ञ कापरेकर हे श्रीनिवास रामानुजन् यांच्यानंतरचे जागतिक कीर्तीचे गणितज्ज्ञ. त्यांचा जन्म १७ जानेवारी १९०५ ला डहाणूत झाला. ते नाशिक जवळच्या देवळालीमध्ये राहणारे एक जागतिक कीर्तीचे गणितज्ञ होते. गणितात कापरेकर स्थिरांक, कापरेकर संख्या यांच्याच नावाने प्रसिद्ध आहेत आणि जगात त्यांचा अभ्यास केला जातो. अनेक स्थिरांक आणि संख्या त्यांच्या नावाने ओळखल्या जातात. त्यांना ‘गणितानंद कापरेकर'  म्हटले जाते. 

त्यांच्या महाविद्यालयीन काळात त्यांना गणितातले रँग्लर परांजपे पारितोषिक मिळाले होते. ते देवळाली येथे शिक्षक होते आणि १९६२ मध्ये निवृत्त झाले. त्यांची राहणी अत्यंत साधी होती. धोतर, कोट, टोपी हा त्यांचा नित्याचा वेश होता. नोकरीच्या काळात आणि निवृत्तीनंतरही कापरेकरांचा गणितातील आकड्यांशी खेळ चालूच होता. महाविद्यालयीन स्तरावर अनेक संशोधनपर लेख प्रसिद्ध होतात, पण शालेय स्तरावर आणि शाळा मास्तरांकडून असे लेख लिहिले जाणे अतिशय अपवादात्मक असते. दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर यांचे लेख हे त्यांतले एक होते. गणितातलं फार प्रगत असं शिक्षण न घेताही कापरेकरांनी नंबर थिअरीवर बरंच काम केलं.  कापरेकर संख्या, दत्तात्रेय संख्या, हर्षद संख्या, डेमलो संख्या, देवळाली संख्या अश्या काही संकल्पना त्यांनी मांडल्या.  गणितातल्या प्रत्येक संकल्पनेचा उपयोग झालाच पाहिजे असं काही नाही. काही संकल्पना या तशाच मोहक असतात. त्यात आश्चर्य मानायचं, प्रभावित अन प्रोत्साहित झालं तरी खूप आहे. म्हणजेच केवळ मनोरंजनासाठीही गणिताचा वापर करता येतो. 

त्यांनी दोन्ही बाजूंनी वाचले तरी तोच मजकूर येतो अशा इंग्रजी, मराठी, हिंदी इत्यादी शब्दांचे प्रदर्शन भरवले गेले होते. उदा. डालडा, काजू भाजु का? त्यांना त्याच कल्पनेवरून कदाचित पलिण्ड्रोमिक संख्यांची कल्पना सुचली असावी. 

त्यांना आगगाडी स्टेशनवर किती वेळ थांबते हे एकदा कोणी विचारले असता त्यांनी अगदी गमतीदार उत्तर दिले होते....

“टू टु टू टु - टू – टू” समोरचा माणूस गोंधळून गेला होता. तेव्हा त्यांनी त्याला समजावले. “Two to Two to Two two” म्हणजेच दोनला दोन मिनिटांपासून दोन वाजून दोन मिनिटांपर्यंत अशी चार मिनिटे गाडी थांबते.

कापरेकर स्थिरांक अर्थात Kaparekar constant

६१७४ या चार अंकी संख्येतील आकड्यांची उलटापालट केल्यास, चोवीस चार अंकी संख्या मिळतात. त्यातील कोणत्याही एका संख्येतील अंक चढत्या व उतरत्या क्रमाने मांडले आणि मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा केली तर उत्तर ६१७४ असेच येते हे कापरेकर यांनी दाखवून दिले. उदाहरणार्थ, ७६४१ ही संख्या उलट्या क्रमाने लिहिल्यास १४६७ अशी येईल आणि ७६४१ व १४६७ यांची वजाबाकी ६१७४ अशी येते. मार्टिन गार्ट्न नावाच्या लेखकाने ‘अमेरिकन मॅथेमॅटिकल मंथली’मध्ये त्याची नोंद घेतली आणि कापरेकरांनी शोधलेली ६१७४ ही संख्या ‘कापरेकर स्थिरांक’ म्हणून मान्य पावली.

 तर ६१७४ ही एक अजब आणि गमतीशीर संख्या आहे. बघा कसं ते!

कुठलीही चार अंकी संख्या घ्या, कमीत कमी २ वेगळे अंक वापरून. (९९९९ नको ८८९९ चालेल, अगदी ००६५ सुद्धा) आता एकदा ते अंक चढत्या व उतरत्या क्रमाने लावून दोन संख्या मिळतील.

त्यातल्या मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा करा. पुन्हा चढत्या उतरत्या क्रमाने लावून परत मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा. (Repeat) या प्रक्रियेच्या शेवटी नेहमी ६१७४ हीच संख्या मिळते.

उदा. ७२६३.

उतरता क्रम: ७६३२

चढता क्रम: २३६७

वजाबाकी: ७६३२-२३६७ = ५२६५

आणि हीच प्रक्रिया पुढे:

६५५२-२५५६=३९९६

९९६३-३६९९=६२६४

६६४२-२६४४=४१७६

७६४१-१४६७=६१७४

हा अफाट शोध गणितानंद दत्तात्रय कापरेकर या बुद्धिमान गुरुजींनी लावला. आणि ही संख्या कापरेकर स्थिरांक म्हणून ओळखली जाते. 

डेम्लो संख्या

मुंबईत१९२३साली रोज डोंबिवलीपर्यंतचा लोकलचा प्रवास करताना कापरेकरांचे लक्ष वाटेत दिसणाऱ्या आगगाडीच्या डब्यांच्या नंबरांकडे असे. या आकड्यांचा विचार करताना कापरेकरांना एका नवीनच प्रकारच्या संख्यांचा शोध लागला. डोंबिवली स्टेशनच्या नावावरून कापरेकरांनी या संख्यांना डेम्लो संख्या असे नाव दिले.

कापरेकर यांनी शोधलेल्या ‘दत्तात्रय’ संख्या म्हणजे नक्की काय?

त्यांनी त्यांच्या स्वतःच्या ‘दत्तात्रय’ नावाच्या संख्येचा शोधही लावला. दत्तात्रयात ब्रम्हा, विष्णू, महेश अशा तीन देवता आहेत; तसेच, तीन वर्गदर्शन देणार्‍या संख्याही गणितात आहेत हे कापरेकर यांनी शोधून काढले. उदाहरणार्थ, ४९ या संख्येत २ चा वर्ग ४ आणि ३ चा वर्ग आहे ९; तसेच, ७ चा वर्ग ४९ हाही अंतर्भूत आहे. १३, ५७, १६०२, ४०२०४ या संख्यांना दत्तात्रय संख्या म्हणतात. कारण, त्या संख्यांच्या वर्गाचे दोन किंवा अधिक हिस्से केले तर त्यांतील प्रत्येक हिस्सा हा पूर्ण वर्ग असतो.

उदाहरणार्थ, १३²=१६९.(१६ आणि ९ हे पूर्ण वर्ग आहेत.)

५७²=३२४।९;

१६०२²=२५६।६४।०४;

४०२०४²=१६।१६।३६।१६।१६

कापरेकर आणि कोपर्निकस

कापरेकर यांच्या काळात प्रसिद्ध खगोलशास्त्रज्ञ कोपर्निकस यांची ५००वी जयंती १९ फेब्रुवारी १९७३ रोजी झाली. खगोलशास्त्र हाही कापरेकर यांचा आवडता विषय होता आणि कोपर्निकस हा त्यांचा आवडता खगोलशास्त्रज्ञ... मग काय विचारता? त्यांनी त्यांच्या आवडत्या खगोलशास्त्रज्ञाला गणिताच्या माध्यमातून वेगळ्याच पद्धतीने आदरांजली वाहिली. त्याच्या जन्मतारखेवरून जादूचा असा एक चौरस बनवला, की त्यातील उभी, आडवी, तिरपी किंवा कोणत्याही सिमेट्रीने बेरीज एकसारखीच म्हणजे ५९४ येईल...

१९ २ ७३ ५००

५०१ ७२ ५ १६

३ १८ ४९९ ७४

७१ ५०२ १७ ४

या जादुच्या चौरसात ५९४ ही बेरीज तब्बल २२ वेगवेगळ्या पद्धतींनी मिळवता येते. त्या चौरसातील पहिली ओळ आहे १९ २ ७३ ५०० म्हणजे कोपरनिकसची जन्मतारीख आणि त्यांनी साजरी केलेली ५०० वी जयंती!

कापरेकर आणि त्यांची गुरुदक्षिणा

रँग्लर परांजपे हे कापरेकर यांचे फर्ग्युसन कॉलेजातील प्राध्यापक होते. त्यांच्या शहाऐंशीव्या जन्मदिवसानिमित्त (१६-२-६२) कापरेकर यांनी त्यांच्या गुरुंसाठी तब्बल पाच संख्यांचा चौरस बनवला.

१६ ०२ १९ ६२ ८६

०१ ६७ ९१ २१ ०७

९६ २६ १२ ०४ ४७

१७ ०९ ५२ ७६ ३१

५७ ८१ ११ २२ १४

योगायोग म्हणजे त्या घटनेनंतर त्यांना विद्यापीठ अनुदान मंडळाची शिष्यवृत्ती मिळाली. 

कापरेकर यांची अजब आकडेमोड - एक नमुना

४ २ ० ४ २ ३ ४ १ २ ५ आणि ५ २ १ ४ ३ २ ४ ० २ ४ या पालीण्ड्रोम संख्या आहेत; म्हणजे त्या उलटसुलट कशाही लिहिल्या तरी एकच संख्या मिळते. त्या पुढीलप्रमाणे मांडल्या......

त्यांची पुनर्मांडणी करूया.

४, २०, ४२, ३, ४१, २५ आणि ५, २१, ४३, २, ४०, २४

आता,

४ + २० + ४२ + ३ + ४१+ २५ = ५ + २१+ ४३ + ४० + २४

आणखी गंमत पाहा. या सर्व संख्यांचे वर्ग केले आणि मिळवले तरीही........

४²+ २०²+ ४२² + ३² + ४१²+ २५²= ५² + २१² + ४३² + ४०²+ २४²

आणखी गंमत पुढेच आहे

यांचा घन केला असताही दोन्ही बाजू सारख्या राहतात हे कापरेकर यांनी गणित करून काढले होते.

४³+ २०³+ ४२³+ ३³ + ४१³+ २५³ = ५³ + २१³ + ४३³+ ४०³ + २४³

ही आकडेमोड कॅलक्यूलेटरवर सुद्धा करणे वेळ खाणारे काम आहे आणि त्यावेळी कॅलक्युलेटर वगैरे नसतानाही छाती दड़पून टाकणारी ती आकडेमोड कापरेकर यांनी फक्त कागद-पेन्सील घेऊन केली होती!

बहुतेक कॅलक्युलेटर हे दहा किंवा बारा डिजिटचे असतात; तर कापरेकर यांनी इतके गुणाकार-भागाकार करण्यासाठी किती वेळ खर्च केला असेल आणि तेही अत्यंत अचूकपणे व कंटाळा न करता.

त्यांचे नाव प्रख्यात गणितज्ञ म्हणून "द वर्ल्ड डिरेक्टरी ऑफ मैथेमेटिशियन" या स्वीडनहुन प्रकाशित झालेल्या ग्रंथात समाविष्ट झालेले आहे. १९७५ साली अमेरिकेतील प्रा. मार्टिन गार्डिनर यांनी कापरेकरांच्या संशोधनाची दखल घेतली आणि त्यांच्या संशोधनावर आधारित Mathematical Games या सदराखाली Scientific American या मासिकात लेख लिहिला, आणि द. रा. कापरेकर भारतातच नाही तर जगभरात प्रसिद्ध झाले. Stefanu Elias Aloysius या लेखकाने "D.R. Kaprekar’ नावाचे कापरेकरांचे चरित्र लिहिले आहे.

- अश्विनी रानडे (कापरेकर यांची नात ) - 8828110175.